近日，北京师范大学系统科学学院樊京芳教授团队在《自然·通讯》（Nature Communications）发表题为“Temporal self-similarity reveals percolation universality classes in complex networks”的研究论文。真实复杂网络往往只有单一、有限规模的样本，传统有限尺度标度方法因而难以直接适用，其渗流转变的临界阈值和临界指数也难以准确确定。针对这一问题，团队从最大连通簇的增长事件出发，建立了一套动态统计框架，揭示渗流过程中的时间自相似标度行为，并据此刻画多类真实网络的渗流普适性。

图1 模型网络与真实复杂网络中的渗流和韧性示意图。二维晶格、Erdős–Rényi随机网络和无标度网络等理想模型可借助传统理论确定临界阈值和指数；真实网络受有限规模和结构异质性影响，难以直接进行有限尺度标度分析。

研究团队将视角从静态网络构型转向渗流过程中的有序连接事件。随着网络中的边依次加入，最大连通簇的大小C(r)会经历一系列离散增长，每次增长记为增长间隙G。研究统计从渗流开始到占边比例r为止的全部增长间隙，得到分布n(G,V,r)，将分析对象从单个“最大间隙”扩展到完整事件集合。结果显示，该分布在临界区和超临界区均呈现幂律标度行为，反映出沿连接事件序列的尺度不变性，论文将其称为“时间自相似”。两个区域分别由费希尔型指数τ_c和τ_s控制，其它已知的临界指数都可以通过(τ_c,τ_s)以及新建立的超标度关系获得，从而刻画复杂系统的渗流普适类。

图2 复杂网络渗流过程中的时间自相似。最大连通簇沿占边比例变化产生一系列增长间隙；在临界区域和超临界区域，增长间隙大小分布呈现幂律行为和数据塌缩，并分别由τ_c 和τ_s刻画。

团队进一步在二维晶格、Erdős–Rényi随机网络、随机正则网络和无标度网络上验证了这一框架。不同模型的增长间隙分布均服从统一的动态标度形式，且超临界指数τ_s与相应普适类的经典费希尔指数一致，表明动态事件统计保留了静态临界团簇的普适性信息。在此基础上，研究随后分析生物、合著、引文、交互、推荐、社交等多类真实网络，以(τ_c,τ_s)构建其普适类分布图。

图3 真实网络在(τ_c,τ_s)平面上的普适类分布。不同领域网络对应不同的动态临界指数；许多具有异质度分布的真实网络偏离理想无标度模型的预测，说明度分布不能单独决定临界行为。

研究发现，许多真实网络虽具有类似无标度网络的异质度分布，其(τ_c,τ_s)却明显偏离理想模型；道路网络更接近低维空间嵌入系统，社交、引文和推荐网络则更接近异质网络区域。这说明度分布不足以解释真实网络的普适类，社区结构、聚类、核心-边缘结构、同配性和空间嵌入等组织特征也会影响连通性演化。该方法较少依赖精确临界点和多个系统尺度，为有限规模真实网络的普适类识别提供了新途径，并有望扩展到爆炸渗流、高阶网络、多层网络、相依网络和自适应网络等其它网络中。

论文信息

相关研究成果以“Temporal self-similarity reveals percolation universality classes in complex networks”为题，发表于《自然·通讯》（Nature Communications）。北京师范大学系统科学学院樊京芳教授为论文唯一通讯作者；北京师范大学系统科学学院博士后方胜和中国科学院大气物理研究所孟君研究员为论文共同第一作者；北京师范大学系统科学学院研究生林青、美国东北大学网络科学研究所及物理系博士后陈炳生、江苏大学数学科学学院董高高教授、聊城大学数学与系统科学学院白成林、德国法兰克福金融管理学院 Jan Nagler 教授、中国科学技术大学近代物理系邓友金教授和英国牛津大学数学研究所 Renaud Lambiotte 教授为论文合作者。研究得到国家自然科学基金、国家重点研发计划、MEL 访问学者项目以及中央高校基本科研业务费的资助。

樊京芳教授长期致力于复杂系统基本理论与地球系统科学的交叉研究，围绕复杂系统临界动力学、气候临界点、遥相关网络和高影响气候事件预测等方向开展研究。近五年来，团队持续构建复杂系统临界动力学理论，相关成果发表于Nat. Phys.、Phys. Rev. Lett.、Sci. Adv.、Phys. Rep.、Sci. China Phys. Mech. Astron.等期刊；提出识别气候临界点及遥相关的新方法，相关成果发表于Nat. Clim. Change、Nat. Commun.、Sci. Bull.、Glob. Change Biol.等期刊；发展高影响气候事件预测方法，相关成果发表于Nat. Mach. Intell.、PNAS、Nat. Clim. Change.、Commun. Earth Environ.、J. Clim.、npj Clim. Atmos. Sci.等期刊。近年来，团队进一步聚焦复杂系统临界动力学及其多领域交叉应用，在复杂系统相变、级联动力学与最优传播控制等前沿方向持续开展研究，为理解和调控复杂系统中的突变行为提供了新的理论支撑。

论文链接：https://doi.org/10.1038/s41467-026-75436-4

供稿：樊京芳

编辑：郝林青

审核：李  辉