网络上的物理模型

在Watts和Strogatz的文章[7]中，在介绍了几何量之后，研究了一个简单传染病模型。在此模型中，接触传染率为1，感染的顶点 在一个单位时间以后退出系统。对于任何网络，这样的传染病都将在整个网络扩散，研究其扩散时间，发现对于从规则网络到随机网络 的所有 p $\in$ $\left(\vphantom{0, 1}\right.$0, 1$\left.\vphantom{0, 1}\right)$网络，其扩散时间刚好与最短路径一致。也就是说，在规则网络上传播所需时间长，但是只要p略大于0， 就会得到迅速传播。这很好地说明了最短路径这一几何量的作用。其实，从这个传染病模型来看，任一顶点都同时向所有近邻传播，当然所需 时间就是网络的平均最短距离了。在此工作之后，许多耦合微分方程系统引入Small World网络，以研究驰豫过程、同步等现象。文章[15]研 究了Small World网络上的耦合Hodgkin-Huxley方程，发现模型在Small World网络上同时具有驰豫时间短，共振性好的特征，分别来源于网络的 小最短距离和高集聚程度。Newman等人研究了Small World网络上的渗流与传染病模型[37]。在这个传染病模型中，作者引入了可感染者比例q与 [7]中的模型相区别。在规则网络上的研究结果表明，q存在一个阈值，只有q > q_c传染病才能大范围流行。在Small World网络上 的研究表明，q_c仍然存在，但是比规则网络小得多。而对于Scale Free网络上传染病模型的研究结果是，对于SIS或SIR模型，不存在类似的 阈值[2,38,39]，也就是说只要传染病发生，就将大范围流传开来。因此，对于这种网络上的传染病的控制就不能完全 依赖于医疗卫生水平的提高，而需要从改变网络结构入手。破坏网络结构的典型方法是隔离，即强行断开某些联接，或去掉某些顶点。关于去边 与去点的方式的研究称为对网络的攻击，所以，网络的不同攻击方式下的结构稳定性是与网络上的物理模型紧密联系在一起的。

除了这种与网络结构，网络演化密切相关的模型以外，很多作者研究了网络上的传统统计物理模型，并与规则网络和分形网络上的结果进行了 对比。例如网络上的Ising模型[60,61]，XY模型[62]，及其临界现象[63]。在Samll World网络上的 Ising模型研究发现，对于以一维链，二维面和三维立方体为基础通过重连得到的不同的Small World网络，相变点，比热有不同的规律。也 就是说，维数仍然是影响网络上动力学模型的一个重要因素。但是，对于一般的拓扑网络，而不是从规则网络改造而来的Small World网络， 维数并不是一个很显然的几何量。那么一般网络上的动力学模型是否也会受与维数对应的网络的某种宏观性质影响呢？如果存在这样的类似 宏观性质，那么这种一般网络上的维数的几何定义也是一个有待解决的问题。