从全球气候剧烈变化、生态系统大规模灭绝、社会群体性事件涌现，到疾病大流行、信息爆炸式传播、金融市场系统性风险等，复杂系统在越过某个临界点时——由量变引发质变——可能会发生剧烈和不可逆的变化。预测复杂系统的临界点，是许多领域共同关心的研究前沿。然而，理论求解非线性复杂系统临界点的精确值极其困难，现有理论研究往往基于平均、线性等各种近似手段。而三体运动、蝴蝶效应等众所周知的例子告诉我们，在非线性系统中，任何近似都会使得最终的误差难以估计。

近日，北京师范大学系统科学学科联合北京邮电大学、瑞士苏黎世大学合作者提出新的研究思路，转而用构造、放缩等方法求解临界点严格的上下界，从理论上避免了高估或低估系统性风险的可能性。结论可简洁地表示为关于复杂网络两个常见指标（最大k核与最大特征值）的不等式,，且可普适用于一大类非线性复杂系统。该工作是复杂系统理论研究的重要进展，为复杂系统在不同稳定状态之间的调控提供了理论依据。

研究成果以“非线性合作网络崩溃的严格判据”（Rigorous criteria for the collapse of nonlinear cooperative networks）为题，于2023年2月27日被物理学顶级期刊《物理评论快报》（Physical Review Letters）接收发表，并被选为编辑推荐（Editors' Suggestion）在期刊主页高亮展示。研究工作主要在国家自然科学基金重点项目（批准号：71731002）的资助下完成。北京师范大学复杂系统国际科学中心吴蕊洁博士为论文的第一作者，史贵元副研究员为论文的通讯作者。北京师范大学珠海校区为论文的第一完成单位和通讯作者单位。

论文链接：

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.130.097401

图1 非线性动力系统的临界点一定落在网络的最大k核与最大特征值之间

图2论文截图

图3论文被选为编辑推荐文章在期刊主页高亮展示

供稿：吴蕊洁

编辑：郝林青

审核：王大辉