引言

近年来，关于复杂网络的研究正处于蓬勃发展的阶段[1,2,3]。其研究者来自图论、统计物理学、计算机网络、生态学、社 会学以及经济学等各个不同领域。网络研究的文章主要发表于Phys. Rev. Lett.，Phys. Rev. E，Physica A，PNAS等物理类期刊，Nature， Science等综合期刊，以及Ecology Letter、ACM等专业期刊。2002年Rev. Mod. Phys.的综述文章《复杂网络的统计物理学》[1] 在历史、基础与前沿等各个方面都写的非常之好，得到了非常高的引用率，已经在SIS被评为有突出影响的文章之一[4]。但是这一年多以来，网 络研究的飞速发展，新的理论研究、新的应用领域的发展和开辟，使得我们有必要重新整理与总结这一领域的研究，以促进复杂网络研究的 发展。同样是网络的统计物理学，本文更多的从复杂网络研究的不同方向进行总结，在保证一定的广度的基础上突出深度，阐述不同方向之 间的联系，并据此提出新的研究问题。

网络可以用来描述人与人之间的社会关系，物种之间的捕食关系，词与词之间的语义联系，计算机之间的网络联接，网页之间的超链 接，科研文章之间的引用关系，以及科学家之间的合作关系，甚至产品的生产与被生产关系。网络还可以作为现象的背景舞台，例如在社会关 系网络上讨论舆论的传播，接触关系网络上讨论传染病的传播，计算机病毒在Internet网络或邮件网络上的传播，在引文网络上研究新思想的 提出与传播，在科学家网络上研究科学家之间的相互影响等。网络与现象结合还可以用来讨论网络的稳定性等结构与功能关系，例如在食物链网 络上讨论个别或部分物种灭绝对整体生态系统的影响，在不同的网络上讨论传染病传播的控制，在科学家网络中讨论某个领域中不同的科学家 的影响力对网络演化的影响。此外，网络本身的演化过程也是一个有趣的问题，例如Internet网络的形成被认为是无限定原则的，但是它却展 现了一些重要而普适的结构特征与稳定性，再比如，对于某一个学科内的引文网络与科学家网络的演化机制的研究，有可能给出促进科学 发展的新的方案与模式。

每一个系统中的网络都有其自身的特殊性质，有其紧密联系在一起的独特现象，有其自身的演化机制，但是由于都可以使用网络分析的方法， 所以有其共性。例如关于顶点度值、介数的分析方法以及大量不同网络中存在的相同的统计特征，再如随机去点与选择性攻击对网络结构的 影响及其分析方法。研究网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，并把它与 具体系统结合起来是复杂网络研究的中心内容。

统计物理与图论都是研究这种共性的有力工具。网络 G = $\left(\vphantom{V,E}\right.$V, E$\left.\vphantom{V,E}\right)$作为图论的概念是指由一个点集 V$\left(\vphantom{G}\right.$G$\left.\vphantom{G}\right)$和一个边集 E$\left(\vphantom{G}\right.$G$\left.\vphantom{G}\right)$组成的一个图，且 E$\left(\vphantom{G}\right.$G$\left.\vphantom{G}\right)$中的每条边e_i有 V$\left(\vphantom{G}\right.$G$\left.\vphantom{G}\right)$的一对点 $\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$与之对应。 记顶点数为 N = $\left\vert\vphantom{V}\right.$V$\left.\vphantom{V}\right\vert$，边数为 L = $\left\vert\vphantom{E}\right.$E$\left.\vphantom{E}\right\vert$。如果任意 $\left(\vphantom{u,v}\right.$u, v$\left.\vphantom{u,v}\right)$与 $\left(\vphantom{v,u}\right.$v, u$\left.\vphantom{v,u}\right)$对应同一条边，则称为 无向网络，否则为有向网络；如果任意 $\left\vert\vphantom{e_{i}}\right.$e_i$\left.\vphantom{e_{i}}\right\vert$ = 1，则称为无权网络，否则为加权网络。从统计物理学的角度来看，网络是一 个包含了大量个体以及个体之间相互作用的系统，是把某种现象或某类关系抽象为个体（顶点）以及个体之间相互作用（边）而形成 的用来描述这一现象或关系的图。统计物理学是从微观到宏观的桥梁。研究网络中顶点与边的度值与权值等微观性质与网络的几何性质、 效率与稳定性等宏观性质之间的关系正是复杂网络研究的核心内容。因而，与图论的研究有所不同，统计物理学研究网络更侧重于从各种实际 网络的现象之上抽象出一般的网络几何量，并用这些一般性质指导更多实际网络的研究，进而通过讨论实际网络上的具体现象发展网络上模型的一般 方法，最后讨论网络本身的形成机制。统计物理学在模型研究，演化机制与结构稳定性方面的丰富的研究经验是统计物理学在 复杂网络研究领域得到广泛应用的原因；而图论[5]与社会网络分析[6]提供的网络静态几何量及其分析方法是复杂网 络研究的基础，并得到了充分的发展。

我们把个体与相互作用直接抽象为顶点与边的系统称为网络，例如WWW网络[26]，合作者网络[66,67]，并把网 络的统计性质称为网络静态几何量；把关于实际网络演化的统计规律的分析称为网络演化性质的研究，例如WWW网络中网页数量的时间演化 规律，而把关于具有特定几何性质的网络的形成机制的探索称为网络演化机制模型，例如探讨Scale Free网络的形成；把建立在网络上的其 他模型，例如传染病[13]、渗流模型[14]的动态过程称为网络上的动力学性质；把网络的各种攻击方式与响应 称为网络的结构稳定性，例如选择性隔离对于传染病流行的控制作用。

本文是按照前面所述的逻辑来组织的，首先我们对三种网络的静态几何量研究的现状做了总结，并提出了一些新的研究对象；接着我们同样 对网络机制模型做了回顾和展望，提出了有待解决的问题；随后部分地概括了网络演化性质与网络上的动力学性质的研究，并探讨了它们与 网络研究的关系；接着总结了网络的结构稳定性研究，尤其是基于网络的传染病控制与食物链网络的鲁棒性的研究。最后，由于其特殊的重 要地位，我们用科学家网络为例，做了一个包含以上几个方面的研究思路，并提出了产品生产关系网络（PION）的研究思路与计划。研究产 品生产关系网络可以不仅把握经济学领域大量现象与关系，并且，由于这种网络结构有其特殊性，还可望促进网络研究的发展。最后一节， 我们整理了在解析和数值计算经常使用的一些技术，便于大家参考以及查找相应的文献。